Линеарни зависни и независни редови: дефиниција, примери

У овој публикацији ћемо размотрити шта је линеарна комбинација низова, линеарно зависних и независних низова. Навешћемо и примере за боље разумевање теоријског материјала.

Дефинисање линеарне комбинације низова

Линеарна комбинација (ЛК) термин s₁sa₂, …, с_n матрица A назван изразом следећег облика:

αs₁ + αс₂ + … + αс_n

Ако сви коефицијенти α_i једнаки су нули, па је ЛЦ тривијалан. Другим речима, тривијална линеарна комбинација је једнака нултом реду.

На пример: 0 · с₁ + 0 · с₂ + 0 · с₃

Сходно томе, ако бар један од коефицијената α_i није једнако нули, онда је ЛЦ нетривијалан.

На пример: 0 · с₁ + 2 · с₂ + 0 · с₃

Линеарно зависни и независни редови

Систем струна је линеарно зависна (ЛЗ) ако постоји њихова нетривијална линеарна комбинација, која је једнака нултој линији.

Отуда следи да нетривијални ЛЦ може у неким случајевима бити једнак нултом низу.

Систем струна је линеарно независна (ЛНЗ) ако је само тривијални ЛЦ једнак нултом низу.

Напомене:

• У квадратној матрици, систем редова је ЛЗ само ако је детерминанта ове матрице нула (la = КСНУМКС).
• У квадратној матрици, систем редова је ЛИС само ако детерминанта ове матрице није једнака нули (la = 0).

Пример проблема

Хајде да сазнамо да ли је систем низова {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} линеарно зависна.

Одлука:

1. Прво, направимо ЛЦ.

α₁{3 4} + а₂{9 12}.

2. Хајде сада да сазнамо које вредности треба да преузму α₁ и α₂тако да је линеарна комбинација једнака нултом низу.

α₁{3 4} + а₂{9 12} = {0 0}.

3. Направимо систем једначина:

4. Поделите прву једначину са три, другу са четири:

5. Решење овог система је било које α₁ и α₂, Са α₁ = -3а₂.

На пример, ако је α₂ = КСНУМКСонда α₁ =-6. Замењујемо ове вредности у систем једначина изнад и добијамо:

Одговор: па линије s₁ и s₂ линеарно зависна.