У овој публикацији ћемо размотрити шта је Гаусова метода, зашто је потребна и који је њен принцип. Такође ћемо на практичном примеру показати како се метода може применити за решавање система линеарних једначина.
Опис Гаусове методе
Гаусова метода је класична метода секвенцијалне елиминације варијабли која се користи за решавање . Име је добио по немачком математичару Карлу Фридриху Гаусу (1777-1885).
Али прво, подсетимо се да СЛАУ може:
- имају једно једино решење;
- имају бесконачан број решења;
- бити некомпатибилни, односно немају решења.
Практичне предности
Гауссова метода је одличан начин да се реши СЛАЕ који укључује више од три линеарне једначине, као и системе који нису квадратни.
Принцип Гаусове методе
Метода укључује следеће кораке:
- право – увећана матрица која одговара систему једначина, своди се на начин изнад редова на горњи троугласти (степенасти) облик, односно испод главне дијагонале треба да буду само елементи једнаки нули.
- назад – у резултујућој матрици, елементи изнад главне дијагонале су такође постављени на нулу (доњи троугласти поглед).
Пример решења СЛАЕ
Решимо систем линеарних једначина у наставку користећи Гаусов метод.
Решење
1. За почетак представљамо СЛАЕ у облику проширене матрице.
2. Сада је наш задатак да ресетујемо све елементе испод главне дијагонале. Даље акције зависе од специфичне матрице, у наставку ћемо описати оне које се односе на наш случај. Прво, мењамо редове, постављајући на тај начин њихове прве елементе у растућем редоследу.
3. Од другог реда одузмите два пута први, а од трећег – утростручите први.
4. Додајте други ред у трећи ред.
5. Одузмите другу линију од прве линије, а истовремено трећу линију поделите са -10.
6. Прва фаза је завршена. Сада морамо да добијемо нулте елементе изнад главне дијагонале. Да бисте то урадили, одузмите трећину помножену са 7 из првог реда и додајте трећу помножену са 5 другом.
7. Коначна проширена матрица изгледа овако:
8. Одговара систему једначина:
Одговор: роот СЛАУ: x = КСНУМКС, y = КСНУМКС, z = КСНУМКС.