Фермаова мала теорема

У овој публикацији размотрићемо једну од главних теорема у теорији целих бројева –  Фермаова мала теореманазван по француском математичару Пјеру де Фермау. Анализираћемо и пример решавања задатка за консолидацију представљеног материјала.

Исказ теореме

1. Иницијал

If p је прост број a је цео број који није дељив са pонда a^{П-КСНУМКС} - КСНУМКС подељен са p.

Формално је написано овако: a^{П-КСНУМКС} ≡ 1 (против p).

Белешка: Прости број је природан број који је дељив само са КСНУМКС и сам без остатка.

На пример:

• a = КСНУМКС
• p = КСНУМКС
• a^{П-КСНУМКС} - КСНУМКС = КСНУМКС^{КСНУМКС - КСНУМКС} - КСНУМКС = КСНУМКС⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• број 15 подељен са 5 без остатка.

2. Алтернатива

If p је прост број, a онда било који цео број a^p упоредити са a образац p.

a^p ≡ а (против p)

Историја проналажења доказа

Пјер де Ферма је формулисао теорему 1640. године, али је није сам доказао. Касније је то урадио Готфрид Вилхелм Лајбниц, немачки филозоф, логичар, математичар, итд. Верује се да је он већ имао доказ до 1683. године, иако никада није објављен. Важно је напоменути да је Лајбниц сам открио теорему, не знајући да је већ раније формулисана.

Први доказ теореме објављен је 1736. године, а припада швајцарском, немачком и математичару и механичару Леонхарду Ојлеру. Фермаова мала теорема је посебан случај Ојлерове теореме.

Пример проблема

Пронађите остатак броја 2¹² on 12.

Решење

Замислимо број 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 је прост број, дакле, Фермаовом малом теоремом добијамо:

2¹¹ ≡ 2 (против 11).

Стога, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (против 11).

Дакле, број 2¹² подељен са 12 са остатком једнаким 4.