Садржај
У овој публикацији ћемо размотрити једну од класичних теорема афине геометрије - Цева теорема, која је добила такво име у част италијанског инжењера Ђованија Чеве. Анализираћемо и пример решавања задатка у циљу обједињавања представљеног материјала.
Исказ теореме
Троугао дат АБЦ, у којој је сваки врх повезан са тачком на супротној страни.
Дакле, добијамо три сегмента (АА', ББ' и ЦЦ'), који се зову цевианс.
Ови сегменти се секу у једној тачки ако и само ако важи следећа једнакост:
|И'| |НЕ'| |ЦБ'|. | = |ПРЕ НОВЕ ЕРЕ'| |СМЕНА'| |АБ'|
Теорема се такође може представити у овом облику (одређује се у ком односу тачке деле странице):
Ћева тригонометријска теорема
Напомена: сви углови су оријентисани.
Пример проблема
Троугао дат АБЦ са тачкама ДО', Б ' и Ц ' по страни BC, AC и AB, редом. Темена троугла су повезана са датим тачкама, а формирани сегменти пролазе кроз једну тачку. Истовремено, тачке ДО' и Б ' узети на средини одговарајућих супротних страна. Сазнајте у ком односу је тачка Ц ' дели страну AB.
Решење
Нацртајмо цртеж према условима задатка. Ради наше погодности, усвајамо следећу нотацију:
- АБ' = Б'Ц = а
- БА' = А'Ц = б
Остаје само да се састави однос сегмената према Цевиној теореми и да се у њега замени прихваћена нотација:
Након смањења разломака, добијамо:
Стога, АЦ' = Ц'Б, односно тачка Ц ' дели страну AB на пола.
Дакле, у нашем троуглу, сегменти АА', ББ' и ЦЦ' су медијане. Пошто смо решили задатак, доказали смо да се они секу у једној тачки (важи за било који троугао).
Белешка: користећи Цевину теорему, може се доказати да се у троуглу у једној тачки секу и симетрале или висине.