У овој публикацији размотрићемо једну од главних теорема у геометрији разреда 8 - Талесову теорему, која је добила такво име у част грчког математичара и филозофа Талеса из Милета. Анализираћемо и пример решавања задатка да бисмо консолидовали представљени материјал.
Исказ теореме
Ако се на једној од две праве измере једнаки сегменти и кроз њихове крајеве се повуку паралелне линије, онда ће прелазећи другу праву линију пресећи на њој једнаке сегменте.
- A1A2 = А2A3 ...
- B1B2 =B2B3 ...
Белешка: Међусобни пресек секанти не игра улогу, односно теорема је тачна и за праве и за паралелне. Локација сегмената на секантима такође није важна.
Генерализована формулација
Талесова теорема је посебан случај теореме пропорционалног сегмента*: паралелне праве секу пропорционалне сегменте на секантима.
У складу са овим, за наш горњи цртеж важи следећа једнакост:
* јер су једнаки сегменти, укључујући, пропорционални са коефицијентом пропорционалности једнаким један.
Инверзна Талесова теорема
1. За секанте које се секу
Ако линије секу две друге праве (паралелне или не) и одсеку на њима једнаке или пропорционалне сегменте, почевши од врха, онда су ове праве паралелне.
Из инверзне теореме следи:
Захтевани услов: једнаки сегменти треба да почну одозго.
2. За паралелне секанте
Сегменти на обе секанте морају бити једнаки један другом. Само у овом случају теорема је применљива.
- a || b
- A1A2 =B1B2 = А2A3 =B2B3 ...
Пример проблема
Дат сегмент AB на површини. Поделите га на 3 једнака дела.
Решење
Цртајте из тачке A усмеравају a и означи на њему три узастопна једнака сегмента: AC, CD и DE.
екстремна тачка E на правој линији a повезати са тачком B на сегменту. Након тога, кроз преостале тачке C и D паралелно BE нацртати две праве које секу сегмент AB.
Овако формиране пресечне тачке на одсеку АБ деле га на три једнака дела (према Талесовој теореми).