Садржај
У овој публикацији ћемо размотрити основне особине висине у једнакостраничном (правилном) троуглу. Анализираћемо и пример решавања задатка на ову тему.
Белешка: троугао се зове једнакостраничанако су му све стране једнаке.
Особине висине у једнакостраничном троуглу
Својство 1
Било која висина у једнакостраничном троуглу је и симетрала, медијана и окомита симетрала.
- BD – висина спуштена у страну AC;
- BD је медијана која дели страну AC на пола, тј АД = ДЦ;
- BD – симетрала угла АБЦ, тј. ∠АБД = ∠ЦБД;
- BD је медијана окомита на AC.
Својство 2
Све три висине у једнакостраничном троуглу имају исту дужину.
АЕ = БД = ЦФ
Својство 3
Висине у једнакостраничном троуглу у ортоцентру (тачка пресека) подељене су у односу 2:1, рачунајући од темена из којег су повучене.
- АО = 2ОЕ
- БО = 2ОД
- ЦО = 2ОФ
Својство 4
Ортоцентар једнакостраничног троугла је центар уписаног и описаног круга.
- R је полупречник описане кружнице;
- r је полупречник уписане кружнице;
- Р = 2р (следи из Својства 3).
Својство 5
Висина у једнакостраничном троуглу дели га на два правоугла троугла једнаке површине (једнаке површине).
S1 = С.2
Три висине у једнакостраничном троуглу деле га на 6 правоуглова троугла једнаке површине.
Својство 6
Знајући дужину странице једнакостраничног троугла, његова висина се може израчунати по формули:
a је страница троугла.
Пример проблема
Полупречник круга описаног око једнакостраничног троугла је 7 цм. Пронађите страну овог троугла.
Решење
Као што знамо из својства 3 и 4, полупречник описане кружнице је 2/3 висине једнакостраничног троугла (h). Стога, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 цм.
Сада остаје да израчунамо дужину странице троугла (израз је изведен из формуле у Својство 6):
