Која је граница функције

У овој публикацији ћемо размотрити један од главних концепата математичке анализе – границу функције: њену дефиницију, као и разна решења са практичним примерима.

Одређивање границе функције

Ограничење функције – вредност којој тежи вредност ове функције када њен аргумент тежи граничној тачки.

Ограничење записа:

• граница је означена иконом лим;
• испод се додаје којој вредности тежи аргумент (променљива) функције. Обично ово x, али не нужно, на пример:x→1″;
• онда се сама функција додаје са десне стране, на пример:

  

Дакле, коначни запис лимита изгледа овако (у нашем случају):

Чита се као "ограничење функције како к тежи јединству".

x→ КСНУМКС – то значи да „х” доследно поприма вредности које се бесконачно приближавају јединству, али се никада неће поклапати са њим (неће се достићи).

Границе одлуке

Са датим бројем

Хајде да решимо горњу границу. Да бисте то урадили, једноставно замените јединицу у функцији (јер x→1):

Дакле, да бисмо решили ограничење, прво покушавамо да једноставно заменимо дати број у функцију испод њега (ако к тежи одређеном броју).

Са бесконачношћу

У овом случају, аргумент функције расте бесконачно, тј. "Кс" тежи бесконачности (∞). На пример:

If x→∞, онда дата функција тежи минус бесконачност (-∞), јер:

• КСНУМКС - КСНУМКС = КСНУМКС
• 3-10 = -7
• 3-100 = -97
• 3 – 1000 – 997 итд.

Још један сложенији пример

Да бисте решили ову границу, такође, једноставно повећајте вредности x и погледајте „понашање“ функције у овом случају.

• РџСЂРе x = КСНУМКС, и = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• РџСЂРе x = КСНУМКС, и = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• РџСЂРе x = КСНУМКС, и = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Дакле, за "Кс"тежња ка бесконачности, функција x² + 3х – 6 расте у недоглед.

Са неизвесношћу (к тежи бесконачности)

У овом случају говоримо о границама, када је функција разломак, чији су бројилац и именилац полиноми. У чему "Кс" тежи бесконачности.

primer: израчунајмо границу испод.

Решење

Изрази и у бројиоцу и у имениоцу теже бесконачности. Може се претпоставити да ће у овом случају решење бити следеће:

Међутим, није све тако једноставно. Да бисмо решили ограничење, потребно је да урадимо следеће:

1. Пронађи x на највећи степен за бројилац (у нашем случају то је два).

2. Слично дефинишемо x на највећи степен за именилац (такође једнако два).

3. Сада делимо и бројилац и именилац са x у вишем степену. У нашем случају, у оба случаја – у другом, али да су различити, требало би да узмемо највиши степен.

4. У резултујућем резултату, сви разломци теже нули, стога је одговор 1/2.

Са несигурношћу (к тежи одређеном броју)

Међутим, и бројилац и именилац су полиноми, "Кс" тежи одређеном броју, а не бесконачности.

У овом случају, условно затварамо очи пред чињеницом да је именилац нула.

primer: Пронађимо границу функције испод.

Решење

1. Прво, заменимо број 1 у функцију, којој "Кс". Добијамо неизвесност форме коју разматрамо.

2. Затим разлажемо бројилац и именилац на чиниоце. Да бисте то урадили, можете користити скраћене формуле за множење, ако су погодне, или.

У нашем случају, корени израза у бројиоцу (2x² – 5х + 3 = 0) су бројеви 1 и 1,5. Дакле, може се представити као: 2(к-1)(к-1,5).

именилац (к–1) је у почетку једноставно.

3. Добијамо овако измењено ограничење:

4. Разломак се може смањити за (к–1):

5. Остаје само да заменимо број 1 у изразу добијеном испод границе: