Систем линеарних алгебарских једначина

У овој публикацији ћемо размотрити дефиницију система линеарних алгебарских једначина (СЛАЕ), како он изгледа, које врсте постоје, као и како га представити у матричном облику, укључујући и проширени.

Дефиниција система линеарних једначина

Систем линеарних алгебарских једначина (или скраћено „СЛАУ“) је систем који генерално изгледа овако:

• m је број једначина;
• n је број променљивих.
• x₁, Икс₂,…, Икс_n - непознат;
• a₁₁,₁₂…, а_mn – коефицијенти за непознате;
• b₁, б₂,…, б_m – слободни чланови.

Индекси коефицијената (a_ij) формирају се на следећи начин:

• i је број линеарне једначине;
• j је број променљиве на коју се коефицијент односи.

СЛАУ решење – такви бројеви c₁, Ц₂,…, ц_n , у чијој поставци уместо x₁, Икс₂,…, Икс_n, све једначине система ће се претворити у идентитете.

Врсте СЛАУ

1. Хомоген – сви слободни чланови система су једнаки нули (b₁ = б₂ = … = б_m = КСНУМКС).

   

2. Хетерогена – ако горе наведени услов није испуњен.
3. Квадрат – број једначина једнак је броју непознатих, тј м = н.

   

4. Неодлучан – број непознатих је већи од броја једначина.

   

5. надјачана Постоји више једначина него варијабли.

   

У зависности од броја решења, СЛАЕ може бити:

1. Зглоб има бар једно решење. Штавише, ако је јединствен, систем се назива дефинитивним, ако постоји неколико решења, назива се неодређеним.

   

   Горњи СЛАЕ је заједнички, јер постоји најмање једно решење: к = КСНУМКС, и = 3.

2. неспојиво Систем нема решења.

   

   Десне стране једначине су исте, али леве нису. Дакле, нема решења.

Матрична нотација система

СЛАЕ се може представити у матричном облику:

АКС = Б

• A је матрица формирана коефицијентима непознатих:

  

• X – колона променљивих:

  

• B – колона слободних чланова:

  

Пример

Представљамо систем једначина испод у матричном облику:

Користећи горње форме, састављамо главну матрицу са коефицијентима, колоне са непознатим и слободним члановима.

Комплетан запис датог система једначина у матричном облику:

Проширена СЛАЕ матрица

Ако на матрицу система A додајте колону бесплатних чланова са десне стране B, раздвајајући податке вертикалном траком, добијате проширену матрицу СЛАЕ.

За горњи пример, то изгледа овако:

– ознака проширене матрице.