Подизање комплексног броја на природни степен

У овој публикацији ћемо размотрити како се комплексни број може подићи на степен (укључујући коришћење формуле Де Моавре). Теоријско градиво је пропраћено примерима ради бољег разумевања.

Подизање комплексног броја на степен

Прво, запамтите да комплексни број има општи облик: з = а + би (алгебарски облик).

Сада можемо прећи директно на решавање проблема.

Квадратни број

Можемо да представимо степен као производ истих фактора, а затим пронађемо њихов производ (и то памтимо i² =-1).

z² = (а + би)² = (а + би)(а + би)

Пример КСНУМКС:

з=3+5и

z² = (3 + 5и)² = (3 + 5и)(3 + 5и) = 9 + 15и + 15и + 25и² = -16 + 30и

Такође можете користити, наиме, квадрат збира:

z² = (а + би)² = a² + 2 ⋅ а ⋅ би + (би)² = a² + 2аби ​​– б²

Белешка: На исти начин, ако је потребно, могу се добити формуле за квадрат разлике, кубу збира/разлике итд.

Н-ти степен

Подићи комплексан број z у натури n много лакше ако се представи у тригонометријском облику.

Подсетимо се да, генерално, запис броја изгледа овако: з = |з| ⋅ (цос φ + и ⋅ син φ).

За експоненцијацију можете користити Де Моивреова формула (тако назван по енглеском математичару Абрахаму де Моивреу):

zⁿ = | з |ⁿ ⋅ (цос(нφ) + и ⋅ син(нφ))

Формула се добија писањем у тригонометријском облику (модули се множе, а аргументи додају).

Пример

Подићи комплексан број з = 2 ⋅ (цос 35° + и ⋅ син 35°) до осмог степена.

Решење

z⁸ = 2⁸ ⋅ (цос(8 ⋅ 35°) + и ⋅ син(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (цос 280° + и син 280°).