Издвајање корена комплексног броја

У овој публикацији ћемо погледати како можете узети корен комплексног броја, као и како то може помоћи у решавању квадратних једначина чији је дискриминанта мањи од нуле.

Издвајање корена комплексног броја

Квадратни корен

Као што знамо, немогуће је узети корен негативног реалног броја. Али када су у питању комплексни бројеви, ова радња се може извршити. Хајде да то схватимо.

Рецимо да имамо број з = -9. Форум √-9 постоје два корена:

z₁ = √-9 = -3и

z₁ = √-9 = 3и

Проверимо добијене резултате решавањем једначине z² =-9, не заборављајући то i² =-1:

(-3и)² = (-КСНУМКС)² ⋅ и² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3и)² = 3² ⋅ и² = 9 ⋅ (-1) = -9

Тиме смо то и доказали -3и и 3i су корени √-9.

Корен негативног броја обично се пише овако:

√-1 = ±и

√-4 = ±2и

√-9 = ±3и

√-КСНУМКС = ±4и итд

Корен на моћ н

Претпоставимо да су нам дате једначине облика з = ⁿ√w… Има n корени (z₀, Или₁, Или₂,…, з_{н-КСНУМКС}), који се може израчунати помоћу формуле у наставку:

|в| је модул комплексног броја w;

φ – његов аргумент

k је параметар који узима вредности: к = {0, 1, 2,…, н-1}.

Квадратне једначине са комплексним коренима

Екстраховање корена негативног броја мења уобичајену идеју уКСНУМКСбуКСНУМКСб. Ако дискриминатор (D) мањи од нуле, онда не може постојати прави корен, али се они могу представити као комплексни бројеви.

Пример

Хајде да решимо једначину x² – 8х + 20 = 0.

Решење

а = 1, б = -8, ц = 20

Д = б² – 4ац = 64-80 = -16

Д < 0, али још увек можемо да узмемо корен негативног дискриминанта:

√D = √-КСНУМКС = ±4и

Сада можемо израчунати корене:

x_1,2 = (-б ± √D)/2а = (8 ± 4и)/2 = 4 ± 2и.

Дакле, једначина x² – 8х + 20 = 0 има два комплексна коњугирана корена:

x₁ = 4 + 2и

x₂ = 4 – 2и