Проналажење инверзне матрице

У овој публикацији ћемо размотрити шта је инверзна матрица, а такође ћемо, користећи практичан пример, анализирати како се може наћи помоћу посебне формуле и алгоритма за секвенцијалне акције.

Дефиниција инверзне матрице

Прво, да се подсетимо шта су реципрочне вредности у математици. Рецимо да имамо број 7. Тада ће његов инверз бити 7^-1 or ¹/₇. Ако помножите ове бројеве, резултат ће бити један, односно 7 7^-1 = КСНУМКС.

Скоро исто са матрицама. Преокренути таква матрица се зове, помноживши је са оригиналном, добијамо идентичну. Она је означена као A^-1.

А · А^-1 =E

Алгоритам за проналажење инверзне матрице

Да бисте пронашли инверзну матрицу, морате бити у стању да израчунате матрице, као и да имате вештине за обављање одређених радњи са њима.

Одмах треба напоменути да се инверзни може наћи само за квадратну матрицу, а то се ради помоћу формуле испод:

|A| – матрична детерминанта;

A^T_M је транспонована матрица алгебарских сабирања.

Белешка: ако је детерминанта нула, онда инверзна матрица не постоји.

Пример

Хајде да пронађемо за матрицу A испод је обрнуто.

Решење

1. Прво да нађемо детерминанту дате матрице.

2. Сада направимо матрицу која има исте димензије као оригинална:

Морамо да схватимо који бројеви треба да замене звездице. Почнимо са горњим левим елементом матрице. Малолетник се налази прецртавањем реда и колоне у којој се налази, односно у оба случаја на броју један.

Број који остаје након прецртавања је тражени мол, тј M₁₁ = КСНУМКС.

Слично, налазимо миноре за преостале елементе матрице и добијамо следећи резултат.

3. Дефинишемо матрицу алгебарских сабирања. Како их израчунати за сваки елемент, размотрили смо посебно.

На пример, за елемент a₁₁ алгебарско сабирање се сматра на следећи начин:

A₁₁ = (-1)^{1+ 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Извршите транспозицију резултујуће матрице алгебарских сабирања (тј. замените колоне и редове).

5. Остаје само да употребимо горњу формулу да пронађемо инверзну матрицу.

Одговор можемо оставити у овом облику, без дељења елемената матрице бројем 11, пошто у овом случају добијамо ружне разломке.

Провера резултата

Да бисмо били сигурни да смо добили инверзију оригиналне матрице, можемо пронаћи њихов производ, који би требао бити једнак матрици идентитета.

Као резултат, добили смо матрицу идентитета, што значи да смо све урадили како треба.