У овој публикацији ћемо размотрити једну од главних теорема Еуклидове геометрије – Стјуартову теорему, која је добила такав назив у част енглеског математичара М. Стјуарта, који ју је доказао. Такође ћемо детаљно анализирати пример решавања задатка за консолидацију представљеног материјала.
Исказ теореме
Дан троугао АБЦ. Поред њега AC Схватио D, који је повезан са врхом B. Прихватамо следећу нотацију:
- АБ = а
- БЦ = б
- БД = стр
- АД = к
- ДЦ = и
За овај троугао је тачна једнакост:
Примена теореме
Из Стјуартове теореме могу се извести формуле за проналажење медијана и симетрала троугла:
1. Дужина симетрале
Дозволити lc је симетрала повучена у страну c, који је подељен на сегменте x и y. Узмимо друге две странице троугла као a и b… У овом случају:
2. Средња дужина
Дозволити mc је медијана окренута надоле у страну c. Означимо друге две странице троугла као a и b… Онда:
Пример проблема
Троугао дат АБЦ. На страни АЦ једнак 9 цм, Схватио D, који дели страну тако да AD двоструко дуже DC. Дужина сегмента који повезује врх B и тачка D, је 5 цм. У овом случају, формирани троугао АБД је једнакокраки. Пронађите преостале странице троугла АБЦ.
Решење
Хајде да прикажемо услове задатка у облику цртежа.
AC = AD + DC = 9 цм. AD више DC два пута, тј AD = КСНУМКСДЦ.
Сходно томе КСНУМКСДЦ + DC = КСНУМКСДЦ у9д КСНУМКС цм. Тако, DC = 3 цм, AD = 6 цм.
Јер троугао АБД – једнакокраки, и бочни AD је 6 цм, па су једнаки AB и BDIe AB = 5 цм.
Остаје само да се пронађе BC, изводећи формулу из Стјуартове теореме:
Замењујемо познате вредности у овај израз:
На овај начин, BC = √52 ≈ 7,21 цм.