Садржај
У овој публикацији ћемо размотрити дефиницију ранга матрице, као и методе помоћу којих се она може пронаћи. Такође ћемо анализирати примере како бисмо демонстрирали примену теорије у пракси.
Одређивање ранга матрице
Матрични ранг је ранг његовог система редова или колона. Свака матрица има своје рангове редова и колона, који су међусобно једнаки.
Ред систем ранг је максимални број линеарно независних редова. На сличан начин се одређује и ранг система колона.
Напомене:
- Ранг нулте матрице (означен симболом „θ“) било које величине је нула.
- Ранг било ког вектора реда или вектора колоне који није нула је једнак један.
- Ако матрица било које величине садржи бар један елемент који није једнак нули, онда њен ранг није мањи од један.
- Ранг матрице није већи од њене минималне димензије.
- Елементарне трансформације извршене на матрици не мењају њен ранг.
Проналажење ранга матрице
Фрингинг Минор Метход
Ранг матрице је једнак максималном реду ненуле.
Алгоритам је следећи: пронађите малолетнике од најнижих до највиших. Ако је мањи nред није једнак нули, а сви наредни (н + 1) једнаки су 0, па је ранг матрице n.
Пример
Да би било јасније, узмимо практичан пример и пронађемо ранг матрице A у наставку, методом граничења малолетника.
Решење
Ради се о матрици 4 × 4, дакле, њен ранг не може бити већи од 4. Такође, у матрици постоје елементи различити од нуле, што значи да њен ранг није мањи од један. Па да почнемо:
1. Започните проверу малолетници другог реда. За почетак, узимамо два реда прве и друге колоне.
Минор је једнак нули.
Стога прелазимо на следећи минор (прва колона остаје, а уместо друге узимамо трећу).
Минор је 54=0, тако да је ранг матрице најмање два.
Белешка: Ако би се показало да је овај минор једнак нули, додатно бисмо проверили следеће комбинације:
Ако је потребно, набрајање се може наставити на исти начин са стринговима:
- 1 и 3;
- 1 и 4;
- 2 и 3;
- 2 и 4;
- КСНУМКС и КСНУМКС.
Ако су сви минори другог реда једнаки нули, онда би ранг матрице био једнак један.
2. Успели смо скоро одмах да нађемо малолетника који нам одговара. Дакле, пређимо на малолетници трећег реда.
Пронађеном минору другог реда, који је дао резултат различит од нуле, додајемо један ред и једну колону означену зеленом бојом (крећемо од друге).
Испоставило се да је минор нула.
Стога мењамо другу колону у четврту. И у другом покушају успевамо да пронађемо минор који није једнак нули, што значи да ранг матрице не може бити мањи од 3.
Белешка: ако би се опет показало да је резултат нула, уместо другог реда, одвели бисмо четврти даље и наставили потрагу за „добрим“ минором.
3. Сада остаје да се утврди малолетници четвртог реда на основу онога што је раније пронађено. У овом случају, то је онај који одговара детерминанти матрице.
Минор је једнак 144=0. То значи да је ранг матрице A једнако је 4.
Свођење матрице на степенасти облик
Ранг матрице корака је једнак броју њених редова који нису нула. То јест, све што треба да урадимо је да доведемо матрицу у одговарајући облик, на пример, користећи , који, као што смо поменули горе, не мењају њен ранг.
Пример
Пронађите ранг матрице B испод. Не узимамо претерано сложен пример, јер нам је главни циљ једноставно да покажемо примену методе у пракси.
Решење
1. Прво одузмите удвостручено прво од другог реда.
2. Сада одузмите први ред од трећег реда, помножен са четири.
Тако смо добили матрицу корака у којој је број ненултих редова једнак два, па је и њен ранг једнак 2.